Page 18 - FEBRUARY-2023

18 Εκδοτικός Οίκος ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2023

Από τον Νεύτωνα στα

πολυπαραµετρικά προβλήµατα

Από τις εκδόσεις ΕΑΠ κυκλοφορεί το βιβλίο του Γεώργιου ∆άσιου

να ακόµη σηµαντικό συγγραφικό έργο προ-
στέθηκε στον κατάλογο των επιστηµονι-
Έκών κι άλλων εκδόσεων του Εκδοτικού
Οίκου του ΕΑΠ. Πρόκειται για το βιβλίο «Κλα-
σµατικός Λογισµός, θεωρία και εφαρµογές» του
Οµότιµου Καθηγητή Εφαρµοσµένων Μαθηµατι-
κών στο Πανεπιστήµιο Πατρών, Γιώργου ∆άσιου.
Το βιβλίο αναφέρεται στον Κλασµατικό Λογισµό,
µια µαθηµατική θεωρία που γενικεύει σηµαν-
τικά τον Κλασικό Απειροστικό Λογισµό, ο οποίος
βασίζεται στις έννοιες της παραγώγου και του
ολοκληρώµατος. Με απλά λόγια η παράγωγος
µετράει τον ρυθµό µεταβολής µιας ποσότητας
και το ολοκλήρωµα αθροίζει κατά συνεχή τρόπο
τιµές µιας ποσότητας.
Αν και υπήρχαν αναφορές για τον ρυθµό µετα-
βολής µιας ποσότητας αρκετά χρόνια πριν τον
Newton, είναι γενικά αποδεκτό ότι ο Newton
ήταν αυτός που εισήγαγε την έννοια του ρυθµού
µεταβολής για µια συνάρτηση και εποµένως για
κάθε µέγεθος που περιγράφεται από µια συ-
νάρτηση. Είναι προφανές ότι η µέτρηση της µε-
ταβολής µιας συνάρτησης απαιτεί την εισαγωγή
µιας µονάδας µέτρησης µεταβολής και ο Ne-
wton επέλεξε για τέτοια µονάδα την µεταβολή της
ταυτοτικής συνάρτησης, η οποία απεικονίζει κάθε
στοιχείο στον εαυτό του. Πέρα από το γεγονός
ότι η ταυτοτική συνάρτηση είναι η απλούστερη δυ-
νατή, γεννιέται το ερώτηµα γιατί ο Newton πε-
ριορίστηκε σε αυτή και µόνο την µονάδα µέτρη-
σης µεταβολών. Μια πιθανή απάντηση είναι ότι
τα µεγέθη (ταχύτητα, επιτάχυνση, πυκνότητα,
κ.τ.λ.) που χρειάστηκε να διαχειριστεί ο Newton
µπορούσαν να µελετηθούν µε την βοήθεια της ταυ-
τοτικής συνάρτησης ως µονάδα σύγκρισης, και
συνεπώς και µέτρησης. Εποµένως, αφού η Κλα-
σική Φυσική της εποχής µπορούσε να αντιµε-
τωπιστεί µε αυτή τη µονάδα µέτρησης, δεν υπήρχε
λόγος να σκεφθεί κάποιος να χρησιµοποιήσει
µια άλλη µονάδα. Αυτή η αρχή παρέµεινε σε
ισχύ ακόµα και κατά τις επαναστάσεις των µε-
γάλων ταχυτήτων (Σχετικότητα) και των µικρών
διαστάσεων (Κβαντική Μηχανική).
Όµως τα πολύπλοκα προβλήµατα της σύγχρο- χές. Πέραν όµως τη χρησιµότητά του ο Κλα- είναι το πρώτο και µοναδικό (προς το παρόν) σύγγραµµα γραµ-
νης εποχής (οικονοµία, κοινωνιολογία, επιστή- σµατικός Λογισµός απαντάει στο εξαιρετικά εν- µένο στην Ελληνική γλώσσα. Κάθε αναγνώστης µε ένα µέτρια
µες υγείας κ.τ.λ.) απαιτούν να αναλυθούν µε µο- διαφέρον ερώτηµα του τι ακριβώς είναι η πα- καλό µαθηµατικό υπόβαθρο που θα κατανοήσει αυτό το βιβλίο
νάδες µέτρησης των µεταβολών διαφορετικές ράγωγος και το ολοκλήρωµα όχι µόνον για µια θα είναι σε θέση να αντιµετωπίσει ερευνητικά θέµατα σε κάθε
από αυτή της ταυτοτικής συνάρτησης. Απαιτούν ακέραιη τάξη αλλά για µια τάξη που µπορεί να επιστηµονική περιοχή, και αυτό γιατί η διάχυση των τεχνικών του
ειδικά επιλεγµένες µονάδες µέτρησης για κάθε είναι οποιοσδήποτε πραγµατικός ή και µιγαδι- Κλασµατικού Λογισµού δεν έχει προλάβει να λύσει ακόµα ούτε
συγκεκριµένο πολυπαραµετρικό πρόβληµα. Για κός αριθµός. τα εύκολα προβλήµατα των επιστηµών. Με άλλα λόγια ο Κλα-
παράδειγµα, ο ρυθµός απορρόφησης ενός φαρ- Ο αναγνώστης µπορεί να βρει την απάντηση σε σµατικός Λογισµός προσφέρεται εξαιρετικά για άµεση ενα-
µάκου από έναν οργανισµό απαιτεί µια µονάδα αυτό το ερώτηµα στο πρώτο κεφάλαιο του βι- σχόληση µε ερευνητικά θέµατα.
µέτρησης που εξαρτάται από το φάρµακο, από την βλίου, όπου περιγράφονται οι ιδέες που βρί- Μια εξαιρετικού ενδιαφέροντος άποψη του Κλασµατικού Λογι-
ανάγκη του οργανισµού γι’ αυτό το φάρµακο και σκονται πίσω από τις έννοιες του Κλασµατικού σµού είναι η παρουσίασή του ως γενίκευση του παραδοσιακού
από πολλές άλλες παραµέτρους που αφορούν Λογισµού, χωρίς µεγάλη µαθηµατική αυστηρό- Λογισµού, και η δραστική αλλαγή των ιδιοτήτων των τελεστών
την κατάσταση του παραλήπτη του φαρµάκου. τητα, για να µπορέσουν να κατανοηθούν ακόµα της παραγώγισης και ολοκλήρωσης όταν η τάξη τους αλλάζει
Τα προβλήµατα αυτά καλείται να αντιµετωπίσει και από µαθητές του Λυκείου. Στο πρώτο κεφά- από ακέραιο σε πραγµατικό αριθµό.
ο Κλασµατικός Λογισµός, ο οποίος µας παρέχει λαιο µπορεί να βρει ο αναγνώστης και πολλά
τη δυνατότητα να κατασκευάζουµε κάθε φορά τα παραδείγµατα που διευκρινίζουν τις αντίστοιχες
κατάλληλα µαθηµατικά για κάθε συγκεκριµένο µαθηµατικές τεχνικές. Μετά το πρώτο, εισαγω- Σύντοµο βιογραφικό
πρόβληµα. γικό κατά κάποιον τρόπο κεφάλαιο, το βιβλίο εί-
Η ευρεία χρήση του Κλασµατικού Λογισµού έχει ναι γραµµένο σε πιο µαθηµατική µορφή. Ο Γεώργιος ∆άσιος είναι
αναπτυχθεί κατά τις τελευταίες δεκαετίες και Το βιβλίο «Κλασµατικός Λογισµός» των εκδό- Οµότιµος Καθηγητής
έχει διαχυθεί σε πολλές επιστηµονικές περιο- σεων του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστηµίου Εφαρµοσµένων Μαθηµα-
τικών στο Πανεπιστήµιο
Πατρών, Αντεπιστέλλον
ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ µέλος της Ακαδηµίας
Αθηνών και Πρόεδρος της
Ανεξάρτητης Αρχής που
Ο Κλασµατικός Λογισµός, αν και ελάχιστα δια- για παράδειγµα ίσον µε;». Η άµεση και βαθιά διεξάγει τις Πανελλαδικές
δεδοµένος, είναι από τις πιο σπάνιες µαθηµα- προφητική απάντηση του Leibnitz ήταν: «Αυτό Εξετάσεις. Έχει συγγρά-
τικές θεωρίες για την οποία έχει αναγνωριστεί είναι ένα προφανές παράδοξο, από το οποίο ψει άνω των 200 ερευνητι-
η ακριβής ηµεροµηνία γέννησής του. Γεννήθηκε κάποια µέρα θα αντληθούν χρήσιµα συµπε- f(t) κών εργασιών σε διεθνή
µε ένα γράµµα που έστειλε ο L’Hospital στον ράσµατα, γιατί είναι δύσκολο να υπάρχει ένα επιστηµονικά περιοδικά,
Leibnitz µε ηµεροµηνία 30 Σεπτεµβρίου 1695. παράδοξο χωρίς χρησιµότητα». Αυτή η «κά- και 18 πανεπιστηµιακά και
R x
Σε αυτό το γράµµα, ο L’Hospital, διαβάζοντας ποια µέρα» ήρθε σταδιακά µετά από περίπου 0 f(t)dt R x ερευνητικά συγγράµµατα
µια εργασία του Leibnitz στην οποία πρότεινε 300 χρόνια και σήµερα έχει αρχίσει να δοµεί- 0 f(t)dg x (t) στην ελληνική και αγγλική
τον συµβολισµό για την τάξης παράγωγο µιας ται σε µια ενδιαφέρουσα θεωρία µε εξαιρε- γλώσσα. Υπήρξε κάτοχος
συνάρτησης, ρώτησε τον Leibnitz: «Ποιο είναι τικά πολλές εφαρµογές στη σύγχρονη Επι- g x (t) Γ(p+1) έδρας Αριστείας Marie
x p
το αποτέλεσµα αυτής της έννοιας όταν το είναι στήµη και στην Τεχνολογία. x (t, g x (t),f(t)) g x (t) Curie στο Πανεπιστήµιο
t του Cambridge.